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\documentclass[12pt]{article}


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\title{Statistiques\\Variations}
\date{21/02/20}
\classe{2\up{de}}
\dsnum{DS 5 --- B}

\setlength{\parindent}{0pt}

\newcommand{\dotrule}[1]{\parbox[t]{#1}{\dotfill}}

\begin{document}
\vspace*{-1cm}\hspace*{-.5cm}\textbf{\Large Nom : \dotrule{.5\textwidth}}
\vspace{.5cm}

\maketitle

\begin{exercice}[3 points]
  Dans sa publication \emph{Emploi, chômage, revenus du travail, édition 2019 - Insee Références}, l'\textsc{Insee} (Institut National de la Statistique et des Études Économiques) donne les informations suivantes sur les salaires annuels de l'ensemble des salariés français en 2015 :

  \begin{itemize}
    \item premier quartile $Q1$ : \numprint{9250} € ;
    \item médiane : \numprint{18370} € ;
    \item troisième quartile $Q3$ : \numprint{26070} €.
  \end{itemize}
  
  Complétez les phrases suivantes.

  \begin{enumerate}
    \item Environ \blanc{75 \%} des salariés français touche moins de \numprint{26070} € par an.
    \item Environ \blanc{la moitié} des salariés français touche plus de \numprint{18370} € par an.
    \item Environ la moitié des salariés français touche entre \blanc{9250} et \blanc{26070} € par an.
  \end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}[4 points]
  \begin{em}
    Dans cet exercice, vous pouvez faire tous les calculs à la calculatrcie, sans justification.
  \end{em}

  Natalia fait du tir à l'arc. Voici le nombre de points obtenus par chacune de ses flèches lors de ses dernières compétitions.

  \begin{center}
    \begin{tabular}{l*{11}{c}}
      \toprule
      Points & 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\
      \midrule
      Nombre de flèches & 1 & 0 & 2 & 3 & 1 & 6 & 10 & 10 & 13 & 8 & 6 \\
      \bottomrule
    \end{tabular}
  \end{center}
    \emph{Lecture : Natalia a tiré 13 flèches lui ayant rapporté chacune 8 points.}

  De plus, on sait que lors des mêmes compétition, une autre tireuse, Kim, a obtenu une moyenne de 7,2 et un écart-type de 2,6.

  \begin{enumerate}
    \item
  \begin{enumerate}
    \item Calculer la moyenne et l'écart-type des scores de Natalia.
    \item Comparer les deux sportives.
  \end{enumerate}
    \item Il reste une place pour compléter une équipe de tir à l'arc pour une prochaine compétition. La sélectionneuse hésite entre Natalia et Kim. Ces deux sportives ont un assez bon niveau pour intégrer l'équipe, mais la sélectionneuse veut la sportive la plus régulière. Laquelle va-t-elle choisir ? Justifier.
  \end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}[3 points]~
  \begin{enumerate}
    \item \emph{Question de cours :} Dresser le tableau de variation de la fonction carré.
  \end{enumerate}
  On définit la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-3x^2$. On souhaite montrer, sans aucun calcul, que $f(-7)<f(-1)$. Voici la preuve, sans aucune justification.

  \begin{align}
-7&<-1\\
(-7)^2&>(-1)^2\\
-3(-7)^2&<-3(-1)^2\\
f(-7)&<f(-1)
  \end{align}

  \begin{enumerate}[resume]
    \item Justifier les changements de sens de l'inégalité :
      \begin{enumerate*}
        \item de la ligne 1 à la ligne 2 ;
        \item de la ligne 2 à la ligne 3.
      \end{enumerate*}
  \end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}[5 points]
On considère une fonction $f$, donc on connait le tableau de variations suivant.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1.5,espcl=2]{$x$/1,$f(x)$/2}
{$-3$,$-1$,$4$,$7$}
\tkzTabVar{-/-3 , +/2, -/-2, +/1}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Sans justifier, recopier et compléter chacune des expressions suivantes avec l'un des trois symboles \fbox{$<$}, \fbox{$>$}, ou \fbox{?} (s'il manque des informations pour répondre à la question).

\begin{enumerate*}
  \item $f(0) \ldots f(3)$ \hspace{\stretch{1}}
  \item $f(1) \ldots f(5)$ \hspace{\stretch{1}}
\item $f(6) \ldots 3$
\end{enumerate*}
\item Quels sont les extremums de $f$ ?
\end{enumerate}
\end{exercice}

\pagebreak

\begin{exercice}[5 points]
Dans cet exercice, toutes les longueurs sont données en centimètres.

\begin{multicols}{2}
  On considère un segment $\left[ AB \right]$ de longeur 8, et un point $M$ sur ce segment. On note $x$ la longeur $AM$. On construit deux carrés de côtés respectifs $\left[ AM \right]$ et $\left[ MB \right]$, comme illustré sur la figure ci-contre.

  L'objet de l'exercice est d'étudier comment varie la somme des aires des deux carrés.

\columnbreak

\begin{center}\begin{tikzpicture}[scale=0.6, ultra thick]
\coordinate (A) at (0, 0);
\coordinate (B) at (8, 0);
\coordinate (M) at (3, 0);
\draw (A) node[below left]{$A$};
\draw (B) node[below right]{$B$};
\draw (M) node[below]{$M$};
\draw (M) -- (A) -- (0, 3) -- (3, 3) -- (3, 5) -- (8, 5) -- (B) -- (M) -- (3, 3);
        \draw [decorate,decoration={brace,amplitude=10pt,mirror,raise=15pt}] (A) -- (B) node [midway, yshift=-1.2cm] {$8$};
        \path (A) -- (M) node[midway, below]{$x$};
\end{tikzpicture}\end{center}
\end{multicols}

On définit la fonction $A$ sur $[0;8]$ par : $A(x)$ est la somme des aires des deux carrés, pour une valeur $x$ donnée.
\begin{enumerate}
\item Exprimer la longueur $MB$ en fonction de $x$, puis montrer que $A(x)=2x^2-16x+64$.
\item On a tracé ci-contre la courbe de la fonction $A$.

 Répondre aux questions suivante par lecture graphique, en laissant apparents les traits de construction.
\begin{enumerate}
\item Pour quelle valeur de $x$ l'aire est-elle minimale ? Quelle est alors sa valeur ?
\item Où doit être situé le point $M$ pour que la somme des aires des deux carrés soit au moins égale à \SI{55}{cm^2} ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[ultra thick,xscale=1.1, yscale=.15]
\tikzset{coordonnees/.style={text opacity=1,color=black,fill=white,opacity=.7}};
\draw[dotted, gray, xstep=.5, ystep=5] (0, 0) grid (8, 70);
\draw[gray, xstep=1, ystep=10] (0, 0) grid (8, 70);
\draw[->] (0, 0) -- (8, 0);
\draw[->] (0,0) -- (0,70);
\draw(0, 0) node[below left]{0};
\draw[domain=0:8,smooth,blue] plot ({\x},{2*\x*\x - 16*\x+64});
\foreach \x in {1, ..., 8} {
\draw (\x, 0) node[coordonnees,below]{$\x$};
}
\foreach \y in {10, 20, ..., 70} {
\draw (0, \y) node[coordonnees,left]{$\y$};
}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{exercice}

\end{document}
