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\pagestyle{empty}

\title{Trinômes}
\date{20/05/15}
\classe{2\up{de}14}
\dsnum{DM 7}

\begin{document}

\maketitle

\begin{exercice}[Formes d'un trinôme]~
  \begin{em}
    On considère les trois fonctions $f$, $g$ et $h$, définies sur $\mathbb{R}$ par :
    \begin{itemize}[$\bullet$]
      \item $f:x\mapsto -2\left( 2x+2 \right)\left( x-3 \right)$
      \item $g:x\mapsto -4x^2+8x+12$
      \item $h:x\mapsto -4\left( x-1 \right)^2+16$
    \end{itemize}
  \end{em}

  \begin{enumerate}
    \item \emph{Prouver que les trois fonctions $f$, $g$ et $h$ sont égales.}
      Soit $x$ un réel quelconque. Développons $f\left( x \right)$.
      \begin{align*}
        f\left( x \right) &= -2\left( 2x+2 \right)\left( x-3 \right) \\
        &= -2\left[2x\times x+2x\times\left( -3 \right)+2\times x+2\times -3\right] \\
        &= -2 \left[ 2x^2-6x+2x-6 \right]\\
        &= -2 \left[ 2x^2-4x-6\right]\\
        &= -4x^2+8x+12\\
        &= g\left( x \right)
      \end{align*}

      Donc $f$ et $g$ sont égales.
      Faisons de même pour $g$.

      \begin{align*}
        h\left( x \right) &= -4\left( x-1 \right)^2+16\\
        &= -4\left( x^2-2x+1 \right)+16\\
        &= -4x^2+8x-4+16\\
        &= -4x^2+8x+12\\
        &= g\left( x \right)
      \end{align*}
      Donc $h$ et $g$ sont égales.
      Nous avons montré que $f$, $g$ et $h$ sont égales : ce sont trois formes différentes d'une même fonction.
    \item \emph{Utiliser la forme la plus adaptée pour répondre aux questions suivantes :}
      \begin{enumerate}
        \item \emph{Calculer $f(1)$.} N'importe laquelle des trois formes fonctionne. Par exemple :
          \[ f\left( x \right)=-4\times1^2+8\times1+12=16\]
        \item \emph{Résoudre $f(x)=0$.} La première forme est la plus adaptée, car nous reconnaissons une équation produit.

          \begin{align*}
            -2\left( 2x+2 \right)\left( x-3 \right) &= 0 \\
            \left( 2x+2 \right)\left( x-3 \right) &= 0 \\
            2x+2=0 &\text{ ou } x-3=0 \\
            x=-1 &\text{ ou } x=3
          \end{align*}

        \item \emph{Résoudre $f(x)=12$.}
          La seconde forme ($g$) est la plus adaptée :
          \begin{align*}
            -4x^2+8x+12 &= 12 \\
            -4x^2+8x &= 0 \\
            x\left( -4x+8 \right)=0\\
          \end{align*}
          C'est une équation produit, donc $x=0$ ou $-4x+8=0$, c'est-à-dire $x=0$ ou $x=2$.
        \item \emph{Résoudre $f(x)=16$.}
          La dernière forme est la plus adaptée.
          \begin{align*}
            -4\left( x-1 \right)^2+16=16\\
            -4\left( x-1 \right)^2=0\\
            \left( x-1 \right)^2=0\\
            x-1=0\\
            x=1
          \end{align*}
      \end{enumerate}
    \item \emph{Dresser le tableau de variations de $f$.} Commençons par identifier $a$, $b$ et $c$ sur la fonction :
      \[f\left( x \right)=\underbrace{-4}_ax^2\underbrace{+8}_bx\underbrace{+12}_c\]
      $a<0$, donc la fonction est croissante puis décroissante. L'extremum de la fonction a pour abscisse $-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2\times-4}=1$. Enfin, $f\left( 1 \right)=16$. Cela donne :
      \begin{center}
        \begin{tikzpicture}
          \tkzTabInit[lgt=2,espcl=2]
          {$x$ /1,
          $f\left( x \right)$ /2}
          {$-\infty$,$1$,$+\infty$}%
          \tkzTabVar{-/, +/16, -/}
        \end{tikzpicture}
      \end{center}
    \item \emph{Tracer la représentation graphique de $f$, pour $x$ allant de -2 à 3, et $y$ allant de $-20$ à $18$ (on pourra prendre une échelle différente pour les abscisses et les ordonnées).}
      \begin{center}
    \begin{tikzpicture}[very thick,yscale=.1]
      \draw[dotted,color=gray,xstep=1, ystep=5] (-2,-20) grid (3,18);
      \draw[] (-2,0) -- (3,0);
      \draw[] (0,-20) -- (0,18);
      \foreach \x in {-2, -1, 1, 2, 3}{
        \draw (\x, 0) node[below]{\x};
      }
      \foreach \y in {-15, -10, -5, 5, 10, 15}{
        \draw (0, \y) node[left]{\y};
      }
      \draw[domain=-2:3,smooth,blue] plot ({\x},{-4*\x*\x+8*\x+12});
    \end{tikzpicture}
  \end{center}
  \end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}[Problème]~

  \begin{em}
    $ABCD$ est un carré de côté \numprint[cm]{6} ; $M$ est un point du segment $[AB]$. On appelle $x$ la longueur $AM$, en centimètres.

    On construit les carrés $MAQO$ et $ONCP$ tels qu'indiqué sur la figure ci-dessus.

    On appelle ${\cal A}(x)$ l'aire grisée, en cm\up{2}, et on cherche à répondre à la question : « Pour quelles valeurs de $x$ la valeur de ${\cal A}(x)$ est-elle supérieure à \numprint[cm\up{2}]{20} ? »
  \end{em}

  \begin{enumerate}[(1)]
    \item \emph{Quelles sont les valeurs possibles pour $x$ ?} La variable $x$ est une longueur, donc elle est posivite. Le point $M$ appartient au segment $\left[ AB \right]$, donc $x$ ne peut pas prendre une valeur plus grande que $6$.
    \item \emph{Montrer que ${\cal A}(x)=x^2+(6-x)^2$.}
      L'aire de la partie grisée est la somme des aires des deux carrés $OMAQ$ et $ONCP$. Le premier carré a pour côté $x$, et le second a pour côté $6-x$, donc :
      \[\mathcal{A}\left( x \right)=x^2+\left( 6-x \right)^2\]
    \item \begin{enumerate}[(a)]
        \item \emph{Montrer que le problème revient à résoudre l'inéquation $2x^2-12x+16\geq0$.}
          Nous cherchons les valeurs de $x$ pour lesquelles l'aire est supérieure à 20~cm\up{2}. Cela signifie :
          \begin{align*}
            \mathcal{A}\left( x \right) &\geq 20 \\
            x^2+\left( 6-x \right)^2 &\geq 20 \\
            x^2+36-2\times6\times x+x^2&\geq 20 \\
            2x^2-12x+36-20&\geq0\\
            2x^2-12x+16 &\geq 0
          \end{align*}
        \item \emph{Montrer que $2x^2-12x+16=(2x-4)(x-4)$.} On développe le second membre.
          \begin{align*}
            \left( 2x-4 \right)\left( x-4 \right) &= 2x\times x+2x\times\left( -4 \right)-4\times x-4\times -4\\
            &= 2x^2-8x-4x+16\\
            &= 2x^2-12x+16\\
          \end{align*}
        \item \emph{Résoudre $(2x-4)(x-4)\geq0$.}
          C'est une inéquation produit. Il faut donc commencer par déterminer le signe de chaque membre séparément.

          Le premier membre ($2x-4$) correspond à une fonction affine, de coefficient directeur positif (donc négative puis positive), qui change de signe en $-\frac{b}{a}=-\frac{-4}{2}=2$.

          De même, le second membre ($x-4$) est une fonction affine de coefficient directeur positif (donc négative puis positive), qui change de signe en $-\frac{b}{a}=-\frac{-4}{1}=4$.

\begin{center}
  \begin{tikzpicture}
    \tkzTabInit[lgt=4,espcl=1]
    {$x$ /1,
      $2x-4$ /1,
      $x-4$ /1,
      $\left( 2x-4 \right)\left( x-4 \right)$ /1
    }
    {0, 2, 4, 6}%
          \tkzTabLine{, -, z ,+, t, +}
          \tkzTabLine{, -, t ,-, z, +}
          \tkzTabLine{, +, z ,-, z, +}
  \end{tikzpicture}
\end{center}
Donc $\left( 2x-4 \right)\left( x-4 \right)$ est positif si et seulement si $x\in\left[ 0; 2 \right]\cup\left[ 4; 6\right]$.
      \end{enumerate}
    \item \emph{Répondre à la question posée au départ.}
      Nous avons montré que le problème de départ revient à résoudre $\mathcal{A}\left( x \right)\geq0$, et que $\mathcal{A}\left( x \right)=\left( 2x-4 \right)\left( x-4 \right)$. Le signe de cette dernière forme a été étudié à la question précédente. Les solutions sont donc : \[x\in\left[ 0; 2 \right]\cup\left[ 4; 6\right]\]
  \end{enumerate}
\end{exercice}
\end{document}
