%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Copyright 2015 Louis Paternault --- http://ababsurdo.fr
%
% Publié sous licence Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International (CC BY-SA 4.0)
% http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.fr
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Pour compiler :
%$ lualatex $basename
\documentclass[12pt]{article}


\usepackage{1920-pablo}
\usepackage{1920-pablo-devoir}
\usepackage{1920-pablo-paternault}
\usepackage[a5paper,margin=1.4cm]{geometry}

\pagestyle{empty}

\title{Probabilités}
\date{9/04/15}
\classe{2\up{de}14}
\dsnum{DM 6}

\begin{document}

\maketitle

\begin{exercice}
  \begin{em}
    J'ai écrit un programme sur ma calculatrice, qui affiche aléatoirement un des nombres 0, 1, 2 ou 3. On connait les probabilités suivantes :
    \begin{itemize}
      \item le nombre affiché est pair : $^2/_3$ ;
      \item le nombre affiché est strictement positif : $^5/_6$.
    \end{itemize}
    Quelle est la probabilité d'obtenir 2 ?
  \end{em}
  Appellons $p_0$, $p_1$, $p_2$, $p_3$ les probabilités des quatre nombres 0, 1, 2, 3.

  \begin{center}
    \begin{tabular}{l|cccc}
      Nombre & 0 & 1 & 2 & 3 \\
      \hline
      Probabilité & $p_0$ & $p_1$ & $p_2$ & $p_3$ \\
    \end{tabular}
  \end{center}

  Puisque la probabilité que le nombre affiché soit strictement positif est $^5/_6$, la probabilité de l'évènement contraire (le nombre affiché est 0) est $1-^5/_6=^1/_6$. Donc $p_0=^1/_6$.

  Puisque la probabilité que le nombre soit pair est $^2/_3$, cela signifie que :
  \begin{align*}
    p_0+p_2 & =^2/_3 \\
    p_2 &= ^2/_3-p_0 \\
    p_2 &= ^2/_3-^1/_6\\
    p_2 &= ^1/_2
  \end{align*}


\end{exercice}

\begin{exercice}
  \begin{em}
    Une urne contient des boules blanches ou noires, portant le numéro 1 ou 2, indépendamment de la couleur. On sait qu'en prenant une boule au hasard, on a les probabilités suivantes :
    \begin{itemize}[$\bullet$]
      \item 55\% d'avoir une boule noire (indépendament du numéro) ;
      \item 15\% d'avoir une boule blanche numérotée 1 ;
      \item 20\% d'avoir une boule numérotée 1.
    \end{itemize}
  \end{em}

  Utilisons un tableau pour compléter ces informations, que nous complétons ensuite. Les informations lues dans l'énoncé sont sur fond gris ; celles calculées ensuites sont sur fond blanc. Notons, comme donnée de départ, que le total est nécessairement 100\%.

  \begin{center}
    \begin{tabular}{l|c|c|c}
      & Boule & Boule & \\
      & blanche & noire & Total \\
      \hline
      Numéro 1 & \cellcolor{blue!20}15\% & 5\% & \cellcolor{blue!20}20\% \\
      \hline
      Numéro 2 & 30\% & 50\% & 80\% \\
      \hline
      Total    & 45\% & \cellcolor{blue!20}55\% & \cellcolor{blue!20}100\% \\
    \end{tabular}
  \end{center}

  Les réponses aux questions 1 à 3 se lisent sur le tableau.

  \emph{En utilisant la méthode de votre choix, répondre aux questions suivantes.}

    \begin{enumerate}
      \item \emph{Quelle est la probabilité d'avoir une boule noire portant le numéro 2 ?} 50\%.
      \item \emph{Quelle est la probabilité d'avoir une boule numérotée 2 ?} 80\%.
      \item \emph{Quelle est la probabilité d'avoir une boule blanche ou numérotée 2 (ou les deux) ?} 15\%+30\%+50\%=95\%.
      \item \emph{Sachant qu'il y a 40 boules dans l'urne, combien y avait-il de boule de chaque type (blanche 1, blanche 2, noire 1, noire 2) ?} On  sait que, par exemple, la probabilité d'avoir une boule noire numérotée 1 est : \[\text{Probabilité} = \dfrac{\text{Nombre de boules noires 2}}{\text{Nombre total de boules}}\]
        Donc :
        \begin{align*}
          \text{Nb. de boules noires 2}
          &=
          \text{Proba.}
          \times
          \text{Nb. total de boules}\\
          &= 50\%\times 40 \\
          &= 20
        \end{align*}

        De même :
        \begin{itemize}
          \item Boules noires numérotées 1 : $5\%\times40=2$
          \item Boules blanches numérotées 1 : $15\%\times40=6$
          \item Boules blanches numérotées 2 : $30\%\times40=12$
        \end{itemize}
    \end{enumerate}

\end{exercice}



\end{document}
