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\documentclass[12pt]{article}

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  includehead,
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  headsep=5mm,
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\fancyhead[L]{\textsc{Spécialité math 1\iere{}}}
\fancyhead[C]{\textsc{DS \no8}}
\fancyhead[R]{\textsc{Sujet blanc}}

\usepackage{multicol}

\begin{document}

\begin{exercice}
	\begin{em}
		Exprimer les expressions suivantes sous la forme $ae^b$, où $a$, et $b$ sont des nombres réels.
	\end{em}
	\begin{multicols}{2}
	  \begin{align*}
			  A=\left( e^5 \right)^2\times e^{-1}
			  &= e^{5\times2}\times e^{-1} \\
			  &= e^{10}\times e^{-1}\\
			  &=e^{10-1}\\
			  &=e^9
	  \end{align*}

		\begin{align*}
	  B=\frac{e^6}{e^4}+e^2
			&= e^{6-4}+e^2\\
			&=e^2+e^2\\
			&=2e^2
		\end{align*}
\end{multicols}
\end{exercice}

\begin{exercice}[D'après le sujet 29 d'E3C de mai 2020]
  La concentration d'un médicament dans le sang en mg.L\up{-1} au cours du temps $t$, exprimé en heure, est modélisée par la fonction $f$ définie sur $\intervallefi{0}$ par :
  \[f(t)=te^{-0,5t}\]
  dont la représentation graphique est donnée ci-dessous.

  \begin{center}
  \begin{tikzpicture}
    \begin{axis}%
      [
        grid=both,
        %axis equal image,
        minor x tick num=4,
        x=1cm,
	yscale=.9,
        xmin=0,
        xmax=11,
        %minor y tick num=1,  % 4 minor ticks => 5 subintervals
        ymin=0,
        ymax=1,
        %axis lines=middle,
        %no markers,
        samples=100,
        domain=0:11,
      ]
      \addplot[blue,very thick](x,{x*exp(-.5*x)});
    \end{axis}
  \end{tikzpicture}
  \end{center}
  \begin{enumerate}
    \item \emph{Calculer la valeur de $f(4)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.}
      \begin{align*}
        f(4)&=4e^{-0,5\times4}\\
        &=4e^{-2}\\
        &\approx 0,54
      \end{align*}
      Donc au bout de quatre heures, la concentration du médicament dans le sang sera environ \SI{0,54}{mg.L^{-1}}.
    \item
  \begin{enumerate}
    \item \emph{On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. Montrer que pour tout $t\in\intervallefi{0}$,}
      \[f'(t)=(1-0,5t)e^{-0,5t}\]

      La fonction $f$ est un produit de deux termes : $t$ et $e^{-0,5t}$. On pose :
      \begin{itemize}[$\bullet$]
        \item $u(t)=t$
        \item $v(t)=e^{-0,5t}$
      \end{itemize}
      Alors :
      \begin{itemize}[$\bullet$]
        \item $u'(t)=1$
        \item $v'(t)=-0,5e^{-0,5t}$
      \end{itemize}
      Et donc, puisque $(uv)'=u'v+v'u$, alors :
      \begin{align*}
        f'(t)
        &=1\times e^{-0,5t}+(-0,5)e^{-0,5t}\times t\\
        &=        e^{-0,5t}-0,5t  e^{-0,5t}\\
        &=(1-0,5t)e^{-0,5t}
      \end{align*}
    \item \emph{Étudier le signe de $f'(t)$ sur $\intervallefi{0}$.}
      Puisqu'une exponentielle est toujours positive, alors $f'(t)$ est du signe de $1-0,5t$, qui est une fonction affine décroissante, qui s'annule en $-\frac{1}{-0,5}=2$.

      Le tableau de signes est tracé à la question suivante.
    \item \emph{Déduire de la question précédente le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\intervallefi{0}$.}
      \begin{center}
        \begin{tikzpicture}[scale=1]
          \tkzTabInit[lgt=2,espcl=1.8]
          {
            $t$ /1,
            $f'(t)$ /1,
            $f$/1.5
          }
          {$0$, $2$, $+\infty$}
          \tkzTabLine{,+,z,-}
          \tkzTabVar{-/0,+/{$\frac{2}{e}$},-/}
        \end{tikzpicture}
      \end{center}
      Pour obtenir les extremums, on a calculé $f(2)=2e^{-0,5\times2}=2e^{-1}=\frac{2}{e}$ et $f(0)=0\times e^{-0,5\times0}=0$.
    \item \emph{Quelle est la concentration maximale du médicament dans le sang ? On donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près.}

      D'après le tableau de variations, le maximum de $f$ est $\frac{2}{e}$. Donc la concentration maximale du médicament sera donc $\frac{2}{e}\approx\SI{0,74}{mg.L^{-1}}$.
  \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{exercice}

\end{document}
