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% Copyright 2021 Louis Paternault --- http://ababsurdo.fr
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% Publié sous licence Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International (CC BY-SA 4.0)
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\fancyhead[L]{\textsc{Spécialité math 1\iere{}}}
\fancyhead[C]{\textsc{DS \no6}}
\fancyhead[R]{\textsc{Sujet blanc}}

\begin{document}

\begin{exercice}\emph{Les questions sont indépendantes.}

  Exprimer les expressions suivantes sous la forme $ae^{bx+c}$, où $a$, $b$, $c$ sont des nombres réels.
  \begin{enumerate}[label={$\Alph*=$}]
    \item $\left( e^{x-1} \right)^2$
    \item $\frac{e^7\times e^x}{e^5}$
  \end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
  L'objet de l'exercice est de résoudre l'équation $3-2e^{x^2-1}\geq1$.
  \begin{enumerate}
    \item Montrer que l'équation est équivalente à :
      \[
        1\geq e^{x^2-1}
      \]
    \item En déduire que l'équation est équivalente à :
      \[
        0\geq x^2-1
      \]
    \item En déduire les solutions de l'équation de départ.
  \end{enumerate}
\end{exercice}

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\pagebreak

\begin{exercice}[D'après le sujet 29 d'E3C de mai 2020]
  La concentration d'un médicament dans le sang en mg.L\up{-1} au cours du temps $t$, exprimé en heure, est modélisée par la fonction $f$ définie sur $\intervallefi{0}$ par :
  \[f(t)=te^{-0,5t}\]
  dont la représentation graphique est donnée ci-dessous.

  \begin{center}
  \begin{tikzpicture}[scale=1]
    \begin{axis}%
      [
        grid=both,
        %axis equal image,
        minor x tick num=4,
        x=1cm,
        xmin=0,
        xmax=11,
        %minor y tick num=1,  % 4 minor ticks => 5 subintervals
        ymin=0,
        ymax=1,
        %axis lines=middle,
        %no markers,
        samples=100,
        domain=0:11,
      ]
      \addplot[blue,very thick](x,{x*exp(-.5*x)});
    \end{axis}
  \end{tikzpicture}
  \end{center}
  \begin{enumerate}
    \item Calculer la valeur de $f(4)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
    \item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. Montrer que pour tout $t\in\intervallefi{0}$,
      \[f'(t)=(1-0,5t)e^{-0,5t}\]
    \item Étudier le signe de $f'(t)$ sur $\intervallefi{0}$.
    \item Déduire de la question précédente le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\intervallefi{0}$.
    \item Quelle est la concentration maximale du médicament dans le sang ? On donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
  \end{enumerate}
\end{exercice}

\end{document}
